{"id":1106,"date":"2026-04-06T17:15:00","date_gmt":"2026-04-06T15:15:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/?p=1106"},"modified":"2026-04-06T18:33:37","modified_gmt":"2026-04-06T16:33:37","slug":"miento-con-el-apuntamiento-curtosis-y-the-fisher-price","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/2026\/04\/06\/miento-con-el-apuntamiento-curtosis-y-the-fisher-price\/","title":{"rendered":"Miento con el apuntamiento: curtosis y the \u00abFisher-price\u00bb."},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

La forma de una distribuci\u00f3n: m\u00e1s all\u00e1 de la media y la desviaci\u00f3n t\u00edpica.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Cuando describimos una variable aleatoria, los dos par\u00e1metros que primero acuden a la mente son la media y la desviaci\u00f3n t\u00edpica: d\u00f3nde se sit\u00faa el centro de la distribuci\u00f3n y cu\u00e1nto se dispersan los datos a su alrededor. Pero la forma de una distribuci\u00f3n de probabilidad no queda completamente caracterizada por esos dos par\u00e1metros. Dos distribuciones pueden tener id\u00e9ntica media e id\u00e9ntica desviaci\u00f3n t\u00edpica y ser, sin embargo, muy distintas en su comportamiento: una puede ser perfectamente sim\u00e9trica y la otra mostrar una cola alargada hacia la derecha; una puede ser achatada y con colas ligeras mientras la otra se eleva en el centro con colas muy pesadas. Para capturar esas diferencias se recurre a las llamadas \u00abmedidas de forma\u00bb, que describen la geometr\u00eda de la distribuci\u00f3n m\u00e1s all\u00e1 de su posici\u00f3n y escala. Las dos medidas de forma m\u00e1s utilizadas son la asimetr\u00eda<\/strong> y el apuntamiento o curtosis<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

La asimetr\u00eda<\/strong> \u2014cuantificada habitualmente mediante el coeficiente g1<\/em> de Fisher\u2014 mide el grado en que la distribuci\u00f3n se \u00abladea\u00bb respecto a su centro: una distribuci\u00f3n sim\u00e9trica tiene g1 = 0; si la cola derecha es m\u00e1s larga que la izquierda, g1 > 0 (asimetr\u00eda positiva o hacia la derecha); si ocurre lo contrario, g1 < 0 (asimetr\u00eda negativa o hacia la izquierda). La asimetr\u00eda tiene implicaciones pr\u00e1cticas directas: en finanzas, una distribuci\u00f3n de rendimientos con cola derecha larga puede ser deseable para el inversor; en gesti\u00f3n de riesgos, una cola izquierda larga indica mayor probabilidad de p\u00e9rdidas extremas que lo que sugiere la desviaci\u00f3n t\u00edpica.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

El apuntamiento<\/strong> \u2014medido por el coeficiente g2<\/em> de Fisher, describe la \u00abforma vertical\u00bb de la distribuci\u00f3n: cu\u00e1nta masa se concentra en el centro y cu\u00e1nta en las colas, en comparaci\u00f3n con la distribuci\u00f3n normal. Una distribuci\u00f3n platic\u00fartica<\/strong> (g2 < 0) es m\u00e1s achatada que la normal, con colas m\u00e1s ligeras y menos masa en el centro: los valores extremos son relativamente infrecuentes. Una distribuci\u00f3n mesoc\u00fartica<\/strong> (g2 \u2248 0) se comporta como la normal en lo que a apuntamiento se refiere. Una distribuci\u00f3n leptoc\u00fartica<\/strong> (g2 > 0) presenta un pico m\u00e1s pronunciado y colas m\u00e1s pesadas que la normal: los valores extremos son m\u00e1s frecuentes de lo esperado.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Establecer correctamente el grado de apuntamiento importa, y mucho. En finanzas y gesti\u00f3n de riesgos<\/strong>, subestimar el peso de las colas \u2014confundir una distribuci\u00f3n leptoc\u00fartica con una mesoc\u00fartica\u2014 conduce a infravalorar la probabilidad de eventos extremos, con consecuencias que pueden ser muy costosas. En inferencia estad\u00edstica<\/strong>, muchos contrastes de hip\u00f3tesis y estimadores de m\u00e1xima verosimilitud asumen normalidad; si la distribuci\u00f3n subyacente es leptoc\u00fartica y no se detecta, los errores est\u00e1ndar y los p-valores quedan sesgados. En econom\u00eda y ciencias sociales<\/strong>, la curtosis informa sobre la concentraci\u00f3n de fen\u00f3menos: una distribuci\u00f3n de ingresos leptoc\u00fartica indica que los valores muy extremos \u2014tanto muy bajos como muy altos\u2014 son m\u00e1s frecuentes de lo que una campana normal predecir\u00eda. En definitiva, clasificar correctamente el apuntamiento de una distribuci\u00f3n no es un ejercicio acad\u00e9mico: es informaci\u00f3n con consecuencias sobre c\u00f3mo se modelizan los datos y c\u00f3mo se toman decisiones a partir de ellos.<\/p>\n\n\n\n

El coeficiente de curtosis de Fisher<\/em> mide el apuntamiento de una distribuci\u00f3n. M\u00e1s o menos.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Los coeficientes basados en momentos tienen una virtud indiscutible: son f\u00e1ciles de calcular. Basta con elevar las desviaciones a la cuarta potencia, promediar, restar tres, y listo. El resultado es el coeficiente de curtosis de Fisher<\/em>, g2<\/em>, cuya f\u00f3rmula, para una muestra de tama\u00f1o n, es:<\/p>\n\n\n\n

<\/em>g<\/mi>2<\/mn><\/msub>=<\/mo>1<\/mn>n<\/mi><\/mfrac>\u2211<\/mo>i<\/mi>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow>n<\/mi><\/msubsup>(<\/mo>x<\/mi>i<\/mi><\/msub>\u2212<\/mo>x<\/mi>\u203e<\/mo><\/mover>)<\/mo>4<\/mn><\/msup><\/mrow>s<\/mi>4<\/mn><\/msup><\/mfrac>\u2212<\/mo>3<\/mn><\/mrow>g_2 = \\frac{\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}(x_i – \\bar{x})^4}{s^4} – 3<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n

donde <\/mtext>s<\/mi>=<\/mo>1<\/mn>n<\/mi><\/mfrac>\u2211<\/mo>i<\/mi>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow>n<\/mi><\/msubsup>(<\/mo>x<\/mi>i<\/mi><\/msub>\u2212<\/mo>x<\/mi>\u203e<\/mo><\/mover>)<\/mo>2<\/mn><\/msup><\/mrow><\/msqrt> es la desviaci\u00f3n t\u00edpica muestral y <\/mtext>x<\/mi>\u203e<\/mo><\/mover> la media muestral.<\/mtext><\/mrow>\\text{donde } s = \\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}(x_i – \\bar{x})^2} \\text{ es la desviaci\u00f3n t\u00edpica muestral y } \\bar{x} \\text{ la media muestral.}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n

El t\u00e9rmino \u00ab\u2212 3\u00bb en la f\u00f3rmula es la calibraci\u00f3n que hace que la distribuci\u00f3n normal obtenga exactamente g2 = 0, convirti\u00e9ndola en el punto de referencia. As\u00ed, g2 se presenta como una medida del apuntamiento relativo a la normal: un n\u00famero negativo indica distribuci\u00f3n achatada \u2014platic\u00fartica\u2014, un n\u00famero pr\u00f3ximo a cero apunta a la normalidad \u2014mesoc\u00fartica\u2014, y un n\u00famero positivo delata colas pesadas \u2014leptoc\u00fartica\u2014. Simple, operativo, y ampliamente utilizado.<\/p>\n\n\n\n

El problema es que g2<\/em> no mide solo eso.<\/p>\n\n\n\n

En concreto, g2<\/em> mide el apuntamiento con bastante fidelidad cuando la distribuci\u00f3n es sim\u00e9trica o aproximadamente sim\u00e9trica.<\/strong> Pero en cuanto aparece asimetr\u00eda en escena, el coeficiente comienza a mezclar dos cosas distintas en un solo n\u00famero:<\/strong> el apuntamiento real y la contribuci\u00f3n de la cola larga. Y lo hace sin avisar, sin asterisco, sin nota al pie.<\/p>\n\n\n\n

Es el precio que pagamos por usar la medida de apuntamiento de Fisher<\/em>. The Fisher-price.<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n

\u00bfCu\u00e1nto importa esto en la pr\u00e1ctica? Para responder, vamos a montar un experimento sencillo. Tomaremos una familia de distribuciones que permite controlar el apuntamiento y la asimetr\u00eda de forma independiente \u2014la familia g-and-h<\/em> de Tukey\u2014, y observaremos qu\u00e9 le ocurre a g2<\/em> cuando mantenemos fijo el apuntamiento real y aumentamos progresivamente la asimetr\u00eda. El resultado es, cuando menos, inc\u00f3modo para quienes usan g2<\/em> sin mirar antes g1<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Adelantamos la conclusi\u00f3n, para que el lector pueda ir prepar\u00e1ndose: hay distribuciones que son inequ\u00edvocamente platic\u00farticas, y que g2<\/em> clasifica sin titubear como leptoc\u00farticas. No porque el apuntamiento haya cambiado. Sino porque la asimetr\u00eda ha inflado el coeficiente hasta cruzar el umbral,<\/strong> sin que nadie se lo haya pedido.<\/p>\n\n\n\n

La familia g-and-h<\/em>: un laboratorio a medida.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Para estudiar c\u00f3mo se comporta g2 bajo distintas combinaciones de apuntamiento y asimetr\u00eda, necesitamos una familia de distribuciones que permita variar ambas caracter\u00edsticas de forma independiente. La familia \u00abg-and-h\u00bb de Tukey<\/em>, propuesta en los a\u00f1os setenta, cumple exactamente esa funci\u00f3n. Se construye mediante una transformaci\u00f3n de la distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar Z:<\/p>\n\n\n\n

X<\/mi>g<\/mi>,<\/mo>h<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>e<\/mi>g<\/mi>Z<\/mi><\/mrow><\/msup>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow>g<\/mi><\/mfrac>\u22c5<\/mo>e<\/mi>h<\/mi>2<\/mn><\/mfrac>Z<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow><\/msup><\/mrow>X_{g,h} = \\frac{e^{gZ} – 1}{g} \\cdot e^{\\frac{h}{2}Z^2}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n

donde <\/mtext>g<\/mi>\u2208<\/mo>\u211d<\/mi> controla la asimetr\u00eda y <\/mtext>h<\/mi>\u2265<\/mo>0<\/mn> controla el apuntamiento.<\/mtext><\/mrow>\\text{donde } g \\in \\mathbb{R} \\text{ controla la asimetr\u00eda y } h \\geq 0 \\text{ controla el apuntamiento.}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n

Cuando g<\/em> = 0, la distribuci\u00f3n es perfectamente sim\u00e9trica; cuando h<\/em> = 0 y g<\/em> = 0, se obtiene la distribuci\u00f3n normal est\u00e1ndar exacta. A medida que g<\/em> crece, la distribuci\u00f3n se sesga hacia la derecha; a medida que h<\/em> crece, las colas se vuelven m\u00e1s pesadas.<\/p>\n\n\n\n

La propiedad que hace a esta familia especialmente \u00fatil para nuestro prop\u00f3sito es la \u00abcasi-ortogonalidad\u00bb de sus par\u00e1metros: variar g<\/em> no cambia el apuntamiento real de forma sustancial, y variar h<\/em> no cambia la asimetr\u00eda real de forma apreciable. Son, en la pr\u00e1ctica, dos palancas distintas que controlan dos aspectos distintos de la forma de la distribuci\u00f3n. Esto nos permite plantear la pregunta con toda limpieza: \u00bfqu\u00e9 le ocurre a g2<\/em> cuando h<\/em> \u2014el apuntamiento real\u2014 permanece fijo y solo var\u00eda g<\/em>?<\/p>\n\n\n\n

Antes de responder, conviene establecer el mapa del territorio. La Figura 1 muestra un panel de 30 distribuciones: seis niveles de asimetr\u00eda (g<\/em> = 0, 0.10, 0.25, 0.50, 0.75 y 1.00) cruzados con cinco niveles de apuntamiento (h<\/em> = \u22120.10, \u22120.05, 0.00, 0.10 y 0.20). El fondo de cada celda indica c\u00f3mo clasifica g2<\/em> esa distribuci\u00f3n: azul para platic\u00fartica, gris para mesoc\u00fartica y terracota para leptoc\u00fartica, con umbrales en g2<\/em> = \u22120.1 y g2<\/em> = 0.1. Dentro de cada celda se anotan los valores de g1<\/em> (coeficiente de asimetr\u00eda de Fisher<\/em>) y g2<\/em> (curtosis de Fisher<\/em>).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

La primera lectura del panel es tranquilizadora: en la columna g<\/em> = 0.00, todo funciona como cabr\u00eda esperar. La fila h<\/em> = \u22120.10 es platic\u00fartica (g2 = \u22120.76), la fila h<\/em> = 0.00 es mesoc\u00fartica (g2 \u2248 0), y las filas con h<\/em> positivo son leptoc\u00farticas. Fisher no falla cuando la distribuci\u00f3n es sim\u00e9trica: el par\u00e1metro h<\/em> y el coeficiente g2<\/em> van de la mano.<\/p>\n\n\n\n

La segunda lectura, recorriendo las filas de izquierda a derecha, es bastante menos tranquilizadora.<\/p>\n\n\n\n

Lo que ocurre cuando g crece: la contaminaci\u00f3n silenciosa.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Fijemos la atenci\u00f3n en la fila h = \u22120.10, que corresponde a distribuciones genuinamente platic\u00farticas \u2014colas ligeras, forma achatada\u2014. Con g = 0, g2 vale \u22120.76: platic\u00fartica con claridad. Con g = 0.10, g2 vale \u22120.69: sigue siendo platic\u00fartica, y apenas ha cambiado. Hasta aqu\u00ed, todo en orden.<\/p>\n\n\n\n

Pero a medida que g<\/em> crece, algo se tuerce. Con g<\/em> = 0.25, g2 vale \u22120.33: todav\u00eda platic\u00fartica, pero el coeficiente se ha reducido a menos de la mitad. Con g<\/em> = 0.50, g2 salta a +1.29: leptoc\u00fartica<\/strong>, seg\u00fan Fisher. Con g<\/em> = 0.75, g2 llega a +5.55. Con g<\/em> = 1.00, alcanza +17.26. Una distribuci\u00f3n que en t\u00e9rminos de h<\/em> no ha cambiado en absoluto \u2014sigue siendo inequ\u00edvocamente platic\u00fartica\u2014 recibe de Fisher <\/em>una clasificaci\u00f3n diametralmente opuesta en cuanto su asimetr\u00eda es moderada.<\/p>\n\n\n\n

Lo mismo ocurre, con diferente ritmo, en el resto de filas. La fila h<\/em> = \u22120.05 cruza el umbral de lo leptoc\u00fartico ya en g<\/em> = 0.25 (g2 = +0.20). La fila h<\/em> = 0.00, que con g<\/em> = 0 es perfectamente mesoc\u00fartica (g2 = +0.01), pasa a ser leptoc\u00fartica con apenas g<\/em> = 0.10 (g2 = +0.17), y se dispara a g2 = +65.71 con g<\/em> = 1.00. Las filas con h<\/em> positivo, que ya empiezan siendo leptoc\u00farticas, simplemente se vuelven m\u00e1s y m\u00e1s leptoc\u00farticas a ojos de Fisher, con valores de g2 que escalan de forma explosiva.<\/p>\n\n\n\n

El mecanismo es el mismo en todos los casos: la cola larga que introduce la asimetr\u00eda aporta desviaciones elevadas al cuarto momento. Como el cuarto momento no distingue si esa cola est\u00e1 a la derecha o a la izquierda, g2<\/em> las registra todas como se\u00f1al de apuntamiento. El resultado es que g2 crece con g aunque el apuntamiento real no haya cambiado<\/strong>, y ese crecimiento es suficiente para cruzar los umbrales de clasificaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

La Figura 2 muestra este proceso de forma continua: para cada nivel de h<\/em>, la curva de g2<\/em> en funci\u00f3n de g<\/em> arranca en el valor correspondiente a la distribuci\u00f3n sim\u00e9trica y sube mon\u00f3tonamente. Las l\u00edneas de umbral en g2 = \u22120.1 y g2 = 0.1 dividen el espacio en tres zonas. Los cruces son visibles a simple vista: la curva de h<\/em> = \u22120.10 parte del azul (platic\u00fartica) y atraviesa la zona terracota (leptoc\u00fartica) sin que h<\/em> haya cambiado ni un \u00e1pice.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Los umbrales de cambio: cu\u00e1ndo se equivoca Fisher.<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

La Tabla 1 recoge de forma sint\u00e9tica el diagn\u00f3stico: para cada nivel de h, cu\u00e1l es la clasificaci\u00f3n que Fisher<\/em> asigna con g = 0 y a partir de qu\u00e9 valor de g esa clasificaci\u00f3n cambia, tomando como referencia la rejilla discreta.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Las conclusiones son inmediatas. Para h<\/em> = \u22120.10 y h<\/em> = \u22120.05 \u2014distribuciones platic\u00farticas reales\u2014, Fisher<\/em> cambia su clasificaci\u00f3n a leptoc\u00fartica con g<\/em> = 0.50 y g<\/em> = 0.25 respectivamente. Para h<\/em> = 0.00 \u2014distribuci\u00f3n mesoc\u00fartica real\u2014, el cambio ocurre ya en g<\/em> = 0.10. Las distribuciones con h<\/em> positivo no cambian de clase \u2014siempre son leptoc\u00farticas para Fisher\u2014, pero eso no las exime del problema: sus valores de g2<\/em> se inflan de forma tan pronunciada que cualquier comparaci\u00f3n cuantitativa entre ellas queda distorsionada.<\/p>\n\n\n\n

La Tabla 2 ofrece el panorama completo: los valores de g1<\/em> y g2<\/em>, y la clasificaci\u00f3n de Fisher,<\/em> para las 30 combinaciones de la rejilla.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Merece la pena detenerse un momento en la columna de g2<\/em> para h<\/em> = \u22120.10. La secuencia es: \u22120.76, \u22120.69, \u22120.33, +1.29, +5.55, +17.26. El apuntamiento real \u2014medido por h<\/em>\u2014 no ha cambiado. Lo que ha cambiado es g<\/em>. Y eso, para Fisher<\/em>, es suficiente para pasar de \u00abdistribuci\u00f3n achatada\u00bb a \u00abdistribuci\u00f3n de colas muy pesadas\u00bb en el transcurso de unos pocos pasos de la rejilla.<\/p>\n\n\n\n

Conclusi\u00f3n.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

El experimento no deja mucho margen para la duda. g2<\/em> es un coeficiente leg\u00edtimo y computacionalmente c\u00f3modo, pero su interpretaci\u00f3n como medida pura de apuntamiento tiene un requisito impl\u00edcito que rara vez se menciona en los manuales: que la distribuci\u00f3n sea sim\u00e9trica, o al menos aproximadamente sim\u00e9trica. En cuanto ese requisito se incumple, g2<\/em> deja de medir principalmente el apuntamiento y pasa a medir, de forma creciente, la asimetr\u00eda disfrazada de apuntamiento.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Las consecuencias pr\u00e1cticas son directas. Un analista que observa g2 = 5 en una distribuci\u00f3n asim\u00e9trica no puede concluir sin m\u00e1s que la distribuci\u00f3n tiene colas pesadas: es perfectamente posible que ese 5 sea, en su mayor parte, la huella de la asimetr\u00eda sobre el cuarto momento, y que el apuntamiento real sea modesto o incluso negativo. Del mismo modo, comparar g2<\/em> entre distribuciones con distinto grado de asimetr\u00eda es una operaci\u00f3n que mezcla manzanas y peras: no se est\u00e1n comparando apuntamientos, sino combinaciones de apuntamiento y asimetr\u00eda en proporciones distintas para cada distribuci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

\u00bfQu\u00e9 hacer, entonces? La respuesta no es descartar g2<\/em> \u2014sigue siendo \u00fatil cuando la distribuci\u00f3n es sim\u00e9trica o cuando se usa junto a g1<\/em>\u2014, sino usarlo con consciencia de sus limitaciones. En presencia de asimetr\u00eda notable, conviene complementarlo con medidas basadas en cuantiles<\/strong> \u2014como la curtosis de Groeneveld,<\/em> que no se contamina con los momentos de orden impar\u2014 o, al menos, reportar siempre g1<\/em> y g2<\/em> de forma conjunta y no interpretar el segundo sin tener en cuenta el primero.<\/p>\n\n\n\n

En definitiva: g2<\/em> mide el apuntamiento. M\u00e1s o menos. Y el \u00abm\u00e1s o menos\u00bb importa bastante m\u00e1s de lo que parece.<\/p>\n\n\n\n

Lecciones para no quedarse \u00abplatic\u00farticos\u00bb.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    \n
  • g2<\/em> no es una medida pura de apuntamiento.<\/strong> Lo es cuando la distribuci\u00f3n es sim\u00e9trica. En presencia de asimetr\u00eda, captura tambi\u00e9n \u2014y a veces sobre todo\u2014 el efecto de la cola larga sobre el cuarto momento central.
    <\/li>\n\n\n\n
  • El par\u00e1metro h<\/em> de la familia g-and-h<\/em> es el apuntamiento real.<\/strong> Con g = 0, Fisher<\/em> lo capta correctamente: h < 0 produce g2 < 0, h = 0 produce g2 \u2248 0 y h > 0 produce g2 > 0. La relaci\u00f3n es mon\u00f3tona y limpia. Es cuando g crece cuando el acuerdo se rompe.
    <\/li>\n\n\n\n
  • La inflaci\u00f3n de g2<\/em> con g<\/em> es mon\u00f3tona y a menudo explosiva.<\/strong> No se trata de peque\u00f1as correcciones: con asimetr\u00eda moderada (g = 0.50), una distribuci\u00f3n platic\u00fartica real puede obtener g2 > 1. Con asimetr\u00eda notable (g = 0.75), puede superar 5. El error de clasificaci\u00f3n no es marginal.
    <\/li>\n\n\n\n
  • El umbral de cambio de clasificaci\u00f3n llega antes de lo que uno espera.<\/strong> Para una distribuci\u00f3n con h = \u22120.05 (ligeramente platic\u00fartica), el cambio de clasificaci\u00f3n se produce en g = 0.25, un nivel de asimetr\u00eda que en muchos contextos aplicados se considerar\u00eda \u00abmoderado\u00bb o incluso \u00ableve\u00bb.
    <\/li>\n\n\n\n
  • Reportar g2<\/em> sin g1<\/em> es una pr\u00e1ctica incompleta.<\/strong> No porque g1<\/em> corrija g2<\/em>, sino porque sin \u00e9l el lector no tiene informaci\u00f3n para juzgar en qu\u00e9 medida g2<\/em> refleja apuntamiento y en qu\u00e9 medida refleja asimetr\u00eda. Son dos n\u00fameros que deben leerse juntos.
    <\/li>\n\n\n\n
  • Las medidas basadas en cuantiles son una alternativa robusta.<\/strong> La curtosis de Groeneveld<\/em>, construida a partir de diferencias entre cuantiles, no depende de los momentos de orden impar y por tanto no se contamina con la asimetr\u00eda. No es la \u00fanica alternativa, pero s\u00ed la m\u00e1s directa para los prop\u00f3sitos descriptivos habituales.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

    <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    La forma de una distribuci\u00f3n: m\u00e1s all\u00e1 de la media y la desviaci\u00f3n t\u00edpica. Cuando describimos una variable aleatoria, los dos par\u00e1metros que primero acuden a la mente son la media y la desviaci\u00f3n t\u00edpica: d\u00f3nde se sit\u00faa el centro de la distribuci\u00f3n y cu\u00e1nto se dispersan los datos a su alrededor. Pero la forma […]<\/p>\n","protected":false},"author":78,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[23],"tags":[],"class_list":["post-1106","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-error-estandar"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1106","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/users\/78"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1106"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1106\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1121,"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1106\/revisions\/1121"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1106"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1106"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.uclm.es\/miguelangeltarancon\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1106"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}